【これで納得】標本サイズと分布の形との関係

標本サイズが標本分布の形にどのように影響するのかを探ります。この概念は、母集団について信頼性のある推測を行うために非常に重要です。今回は家庭収入という右に歪んだ分布（高収入の人が少数いて、分布の右側に引っ張られる形）を例に取り上げて、標本サイズの違いがどのように影響を与えるのかを見ていきます。

家庭収入の分析：標本分布の例

ある都市の家計データを使って、平均収入を推定することを考えてみましょう。全世帯の収入データを集めるのはコストも時間もかかるため、いくつかの標本を抽出することにします。家計は右に歪んだ分布であるため、標本サイズが平均収入の正確な推定に大きな影響を与えます。では、標本サイズを変えて、どのように分布が変化するかを確認してみましょう。

1つの標本（30世帯）での分布

まず、30世帯のデータから1つの標本を取り、平均収入を計算すると仮定します。このとき、例えば平均収入が60,000ドルと出たとします。しかし、これは1つの標本から得た結果なので、偶然高収入の世帯が多く含まれたり、低収入の世帯が多く含まれたりすることがあり、実際の母集団平均と大きく異なる可能性があります。この1つの標本だけで判断すると、収入分布の偏りが反映されやすくなります。

4つの標本（各30世帯）での分布

次に、標本数を4つに増やし、各標本で30世帯の平均収入を計算するとします。例えば、次のような結果が得られるかもしれません：

• 標本1の平均：58,000ドル
• 標本2の平均：61,000ドル
• 標本3の平均：59,000ドル
• 標本4の平均：62,000ドル

これらの標本平均をプロットすると、1つの標本よりも分布の偏りが少なくなります。ここで「中心極限定理」が働き始め、複数の標本を取ることで、元の母集団の分布が偏っていても、標本平均の分布が正規分布に近づいていきます。これは各標本平均が極端な値の影響を均すためです。

16の標本（各30世帯）での分布

さらに標本数を16に増やし、各標本で平均収入を計算してみましょう。例えば、次のような結果になるかもしれません：

• 標本1の平均：59,000ドル
• 標本2の平均：60,500ドル
• 標本3の平均：61,200ドル
• 標本4の平均：60,000ドル
• 標本5の平均：59,800ドル
• 標本6の平均：61,500ドル
• 標本7の平均：59,500ドル
• 標本8の平均：60,700ドル
• 標本9の平均：60,100ドル
• 標本10の平均：59,700ドル
• 標本11の平均：61,000ドル
• 標本12の平均：60,300ドル
• 標本13の平均：60,200ドル
• 標本14の平均：60,900ドル
• 標本15の平均：59,800ドル
• 標本16の平均：60,600ドル

これらの16の標本平均をプロットすると、標本分布の形がより正規分布に近づくことがわかります。中心極限定理によると、標本数を増やすと標本平均の分布が正規分布に近づき、これは元のデータが偏っていても成り立つ性質です。標本が増えることで、偏りのある値が均され、母集団平均により近い推定ができるようになります。

なぜ標本サイズが重要なのか？

ここまでをまとめると、以下のようなポイントが挙げられます：

• 1つの標本だけでは、母集団を正確に反映できず、元のデータの偏りがそのまま反映されやすい。
• 4つの標本では、標本平均の分布がより正規分布に近づき、信頼性が向上します。
• 16の標本では、標本平均の分布がほぼ完全に正規分布に近くなり、母集団平均の推定が非常に信頼性の高いものになります。

このように、標本数を増やすことで標本平均の分布は正規分布に近づき、どんな母集団の形でも中心極限定理のおかげで統計的推定が行いやすくなります。

実務への応用

この概念は、マーケティング、医療、品質管理などさまざまな分野で活用されています。例えば、企業が顧客満足度を推定する際、複数回にわたって調査を行うことで、全体的な満足度をより正確に把握できます。同様に、臨床研究でも、治療効果の推定に偏ったデータが影響しないよう、繰り返しサンプリングを行うことが求められます。

ですから、データ収集や分析を行う際には、より多くの標本を取ることで標本平均の分布が正規分布に近づき、母集団に対して信頼性のある推測ができることを覚えておきましょう！