【これで納得】「中心極限定理」と「大数の法則」

統計学におけるサンプリング分布と推測統計の基本を支える2つの重要な概念、「中心極限定理（Central Limit Theorem, CLT）」と「大数の法則（Law of Large Numbers, LLN）」について解説します。

中心極限定理とは？

まずは「中心極限定理（Central Limit Theory；CLT）」から見ていきましょう。この定理は、サンプルから母集団に対して推測を行う際に非常に重要な役割を果たします。中心極限定理が示すのは、母集団の分布がどのような形であっても、十分な数のランダムな標本を抽出し、その標本平均を求めると、これらの標本平均の分布は正規分布に近づくということです。つまり、元のデータが偏っている場合や一様な分布であっても、標本平均の分布は標本サイズが大きくなるにつれて正規分布（ベルカーブ）に近づくのです。

このことがなぜ重要なのでしょうか？実際のデータが正規分布でなくても、母集団のパラメータについての予測や信頼区間の作成が可能になるからです。例えば、ある都市の世帯収入を考えた場合、収入データは高収入の尾を持つ偏った分布をしていますが、十分な数の標本を取り、それぞれの平均を計算すると、その平均の分布は正規分布に近づきます。この性質のおかげで、実際のデータが偏っていても、統計的な推測が適用できるのです。

大数の法則とは？

次に、「大数の法則（Law of Large Numbers; LLN）」について説明します。中心極限定理が標本分布の形を理解する助けとなるのに対し、大数の法則は標本サイズが統計の正確性にどのように影響するかを示します。大数の法則によると、標本サイズが増えるにつれて、標本平均は母集団平均に近づきます。言い換えれば、データを多く集めるほど、標本統計量（例えば平均）は母集団の実際の値をより正確に反映するようになるのです。

具体例を挙げましょう。ある学校区全体の標準テストの平均点を推定したいとします。もし10人や20人といった少数の学生だけを対象にした場合、平均点は実際の平均と大きく異なる可能性があります。しかし、対象人数を増やして100人、200人、さらに500人にすると、計算される平均点は母集団全体の平均に近づきます。これが大数の法則の効果です。大きなサンプルサイズは、母集団の推定値の信頼性を高めます。

中心極限定理と大数の法則の組み合わせ

中心極限定理と大数の法則は、統計学における強力なツールを提供してくれます。中心極限定理は、サンプルサイズが大きくなると標本平均の分布が正規分布に近づくことを保証し、仮説検定や信頼区間の作成に活用できます。一方、大数の法則は、サンプルサイズが大きいほど母集団パラメータの推定がより正確になることを保証します。この2つの原理は、統計データに基づいた信頼性のある意思決定を可能にし、さまざまな分野で利用されています。

つまり、アンケートを実施したり、データを収集したり、標本を分析する際には、この2つの統計の基本が私たちの結論や予測を支えていることを思い出してください。中心極限定理と大数の法則を理解し応用することで、データからより意味のある洞察を引き出せるようになります。